MODULACIÓN POR FRECUENCIA ANALÓGICA (FM)

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Introducción

La modulación por frecuencia (FM, por sus siglas en inglés) es una técnica de modulación angular en la cual la frecuencia de la portadora varía en función de la señal de información. A diferencia de la modulación de amplitud (AM), donde la amplitud de la señal portadora se modifica, en FM la frecuencia de la señal portadora se ajusta para corresponder a los cambios en la amplitud de la señal de información.

Esto hace que FM sea menos susceptible al ruido y a las interferencias, proporcionando una mayor calidad de sonido, especialmente en aplicaciones de radiodifusión de audio, como la radio FM. La fórmula básica que describe la señal de FM es:

s(t) = A \cos\left[ 2 \pi f_c t + 2 \pi k_f \int_{0}^{t} m(\tau) \, d\tau \right]

donde:

A \text{ es la amplitud de la portadora,}

f_c \text{ es la frecuencia de la portadora,}

k_f \text{ es la sensibilidad de frecuencia,}

m(\tau) \text{ es la señal modulante.}

Esta técnica también encuentra aplicaciones en comunicaciones bidireccionales, transmisión de televisión, y sistemas de comunicación móvil, debido a su capacidad para soportar señales con ancho de banda variable y su robustez frente a las interferencias. [^1]

MODULACIÓN ANGULAR

Se dice que existe modulación angular cuando el ángulo de fase PHI de una onda portadora senoidal, varía con respecto al tiempo por la acción de una señal de información. Sea una señal de portadora

v_c\left(t\right)=V_ccos\left[\phi(t)\right]

v_c\left(t\right)=V_ccos\left[\omega_ct+\theta_0\right]

Con esta expresión analítica de la función $v_c(t)$ uno puede conocer exactamente la forma y el valor de la función en cualquier instante puesto que $\pi(t)$ varía linealmente con el tiempo y esa variación es constante, es decir:

\frac{d\left[\phi(t)\right]}{dt}=\omega_c=const

y es precisamente $\omega_c$ la frecuencia angular (y constante) de la señal analizada. Básicamente, la diferencia entre la modulación en frecuencia y en fase está en cuál propiedad de la portadora (la frecuencia o la fase) está variando directamente por la señal modulante y cuál propiedad está variando indirectamente Siempre que la frecuencia de la portadora está variando, la fase también se encuentra variando, y viceversa. Por lo tanto, FM y PM, deben ocurrir cuando se realiza cualquiera de las formas de la modulación angular. Si la frecuencia de la portadora varía directamente de acuerdo con la señal modulante, resulta en una señal de FM. Si la fase de la portadora varia directamente de acuerdo con la señal modulante resulta en una señal PM. Por lo tanto, la FM directa es la PM indirecta y la PM directa es la FM indirecta. La modulación en frecuencia y en fase pueden definirse de la siguiente manera:

Modulación en frecuencia directa (FM)

Variando la frecuencia de la portadora de amplitud constante en forma directamente proporcional, a la amplitud de la señal modulante, con una relación igual a la frecuencia de la señal modulante.

Modulación en fase directa (PM)

Variando la fase de una portadora con amplitud constante directamente en forma proporcional, a la amplitud de la señal modulante, con una relación igual a la frecuencia de la señal modulante.

En la figura (1) se puede apreciar la forma de onda para una portadora sinusoidal en la cual se está produciendo modulación angular. La frecuencia y la fase de la portadora están cambiando proporcionalmente, a la amplitud de la señal modulante ( $v_m$ ). Por lo tanto, podemos decir que aparece un cambio en frecuencia ( $f$ ), llamado desviación en frecuencia y un cambio en fase llamado desviación en fase. La desviación en frecuencia es el desplazamiento relativo de la frecuencia de la portadora en hertz y la desviación en fase es el desplazamiento angular relativo (en radianes), de la portadora, con respecto a una fase de referencia. La magnitud de la desviación en frecuencia y en fase es proporcional a la amplitud de la señal modulante ( $v_m$ ) y la relación en que la desviación ocurre es igual a la frecuencia de la señal modulante ( $f_m$ ).

Ilustración 4.1

Cada vez que el periodo (T) de una portadora sinusoidal cambia, también cambia su frecuencia y, si los cambios son continuos, la onda resultante ya no es una frecuencia sencilla. Veremos que la forma de onda resultante contiene como componentes espectrales la frecuencia de la portadora original (a veces llamada la frecuencia de reposo de la portadora) y un número infinito de pares de frecuencias laterales hacia ambos lados de la portadora, separadas por un múltiplo entero de la frecuencia de la señal modulante.

Ilustración 4.2

La figura muestra una portadora senoidal en la cual la frecuencia (f) es cambiada (desviada) en un período de tiempo. El sombreado corresponde al cambio pico a pico en el período de la portadora (t).

Análisis matemático

La diferencia entre FM y PM se entiende más fácilmente definiendo los siguientes cuatro términos, con referencia a la ecuación (1):

Desviación de fase instantánea. La desviación de fase instantánea es el cambio instantáneo en la fase de la portadora, en un instante de tiempo, e indica cuánto está cambiando la fase de la portadora con respecto a su fase de referencia. Matemáticamente es

\text{Desviación de la fase instantánea} = \theta(t) \,\text{radianes}

Fase instantánea. La Fase instantánea es la fase precisa de la portadora, en un instante de tiempo, y se muestra matemáticamente como

\text{Fase\ instantánea} = \omega_c t + \theta(t)

Desviación de frecuencia instantánea. La desviación de frecuencia instantánea es el cambio instantáneo en la frecuencia de la portadora y se define como la primera derivada con respecto al tiempo de la desviación de fase instantánea. Por lo tanto, la desviación de fase instantánea es la primera integral de la desviación de frecuencia instantánea. En términos de la ecuación 2, la desviación de frecuencia instantánea se muestra matemáticamente como

\text{Desviación de frecuencia instantánea} = \theta'(t) \,\text{rad/s}

La prima (') se utiliza para denotar la primera derivada con respecto al tiempo. Frecuencia instantánea. La frecuencia instantánea es la frecuencia precisa de la portadora, en un instante de tiempo, y se define como la primera derivada con respecto al tiempo de la fase instantánea. En términos de la ecuación 3, la frecuencia instantánea se muestra matemáticamente como

\omega_i(t)\ =\ \text{frecuencia\ instantánea} = \frac{d}{dt} \left[ \omega_c t + \theta(t) \right] = \omega_c + \theta'(t) \,\text{rad/s}

Al sustituir a $2 \pi_{fc}$ por $\omega_c$ nos da la frecuencia instantánea

fi\left(t\right)=2\pi fc+\theta^\prime\left(t\right)\frac{rad}{s}eg\ \ o\ \ \ \ fc+\frac{\theta^\prime\left(t\right)}{2\pi}\left[Hz\right]

Entonces, la modulación en fase puede definirse como la modulación angular en la cual, la desviación de fase instantánea, $\theta(t)$ , es proporcional a la amplitud de la señal modulante. Así mismo, la modulación en frecuencia es la modulación angular en la cual, la desviación de la frecuencia instantánea, $\theta^\prime\left(t\right)$ , es proporcional a la amplitud de la señal modulante. Para una señal modulante $v_m(t)$ , la modulación en fase y en frecuencia serán

\text{modulación en fase} = \theta(t)\ =\ K_v\ m(t)\ \,\ \text{rad}

\text{modulación en frecuencia} = \theta\prime(t)\ =\ K_1\ v_m(t)\ \,\ \text{rad/s}

en donde $K y K_1$ son constantes y son las sensibilidades de desviación de los moduladores de fase y de frecuencia, respectivamente. Las sensibilidades de desviación son las funciones de transferencia de salida versus entrada para los moduladores. La sensibilidad de desviación para un modulador de fase es $K=\frac{radianes}{volt}$

\mathrm{K\ =\ \frac{\text{radianes}}{\text{volt}}}

y para un modulador de frecuencia

\mathrm{K_1\ =\ \frac{\frac{\text{radianes}}{\text{seg}}}{\text{volt}}\ =\ \frac{\text{radianes}}{\text{volt}\ \cdot \text{seg}}}

La modulación en fase es la primera integral de la modulación de frecuencia

\theta=\int{\theta^\prime\left(t\right)d(t)=\int{K_1v_m\left(t\right)dt=K_1\int{v_m\left(t\right)dt}}}

CÁLCULOS DE PARÁMETROS DE MODULACIÓN

Índice de Modulación

El índice de modulación es una medida de la profundidad de la modulación y se define como la relación entre el desvío de frecuencia máximo ( $∆f$ ) y la frecuencia máxima de la señal modulante (fm):

\mathrm{\beta =\ \frac{\Delta f}{f_m}}

Desvío de Frecuencia

La máxima desviación de la frecuencia portadora respecto a su valor nominal en respuesta a la señal modulante. Se calcula como:

\mathrm{\Delta f\ =\ k_f\ \cdot A_m}

donde:

$k_f$ es la sensibilidad del modulador en $Hz/V$ .
$A_m$ es la amplitud de la señal modulante en voltios.

Sensibilidad del Modulador

La sensibilidad del modulador $k_f$ es una constante que define cuánto varía la frecuencia de la portadora por cada voltio de la señal modulante. Se expresa en $Hz/V$ .

Ancho de Banda (BW)

El ancho de banda necesario para transmitir una señal FM se puede estimar utilizando la regla de Carson, que proporciona una buena aproximación práctica:

\text{BW}\ \approx 2(\Delta f\ +\ f_m)

Esta regla indica que el ancho de banda total es aproximadamente el doble de la suma del desvío de frecuencia y la frecuencia máxima de la señal modulante.

Relación Señal-Ruido (SNR)

En sistemas FM, la relación señal-ruido es mejorada respecto a los sistemas AM debido a la naturaleza de la modulación en frecuencia, que es menos susceptible al ruido de amplitud. La mejora de la SNR en FM se expresa a menudo en términos de la mejora de captura.

Ejemplo

Se tiene un sistema de modulación con las siguientes características:

La señal modulante es una onda senoidal con una frecuencia máxima de 2 kHz.
La amplitud de la señal modulante es de $3 V$ .
La sensibilidad del modulador es de $7 kHz/V$ .

Solución

Cálculo del Desvío de Frecuencia Máximo

∆f=kf*Am

∆f=7kHzV*3V=21 kHz

Cálculo del Índice de Modulación

\beta=∆ffm

\beta=\frac{21\ kHz}{2\ kHz}=10.5

Cálculo del Ancho de Banda (BW) utilizando la Regla de Carson

BW\approx2(∆f+fm)

BW\approx2\left(21\ kHz+2\ kHz\right)=46\ kHz

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Transmisión de AM Moduladores y demoduladores de fase y de frecuencia